Exponentialfunktionen
Exponentielles Wahstum:
Ein Wachstum, bei deren Wertetabelle die Division zweier nacheinander stehenden y-Werte immer eine gleiche Zahl (b>1) beträgt.
Beim einsetzen von beliebigen Zahlen in die Funktion und anhand von der Zeichungsanwendung des Excel-Programms lasse ich den Graph der obigen Funktion skizzieren.
Wachstum/Zerfall
Wachstum bezeichnet die Zunahme einer bestimmten Messgröße im Zeitverlauf. Das Gegenteil von Wachstum ist die Schrumpfung, also die Abnahme einer Messgröße – teilweise auch als Zerfall bezeichnet.
Formelbildung |
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Die Bestandgröße solcher Funktionen lassen sich durch die unten aufgeführte Funktion modellieren.
f(t): Bestandgröße nach einer bestimmten Zeit
a: Anfangswert
b: Wachstums/Zerfalls-Faktor=1+Wachstum/Zerfall-Rate
t: Zeit
Herleitung der Formel:
Laut der Voraussetzungsformel für ein exponentielles Wachstum
Beispiel:
Die Bevölkerung von Inheim ist in den letzten 7 Jahren jährlich um 2 % gestiegen und liegt jetzt bei 50 000. Wie viele Menschen lebten vor 7 Jahren in Inheim? Runde auf ganze Menschen
Die aktuelle Bevölkerung= 50 000
Wachstumsrate: um +2% bzw. auf 102% -> b=1+0,02=1,02
t=7
f (7) =50 000
a=? Anfangswert bzw. Anzahl von Menschen vor 7 Jahren
Menschenanzahl: aufgerundeter Wert von a = 43529 Menschen lebten dort vor 7 Jahren.
Unten wurde die Funktion in einem kleineren Intervall skizziert.
Die Wachsums/Zerfall-Funktion wird mit Basis „e“ geschrieben, wenn anstatt ,
eingesetzt wird. K wird als Wachstumskonstante bezeichnet.
