Exponentialfunktionen

Exponentielles Wahstum:

Ein Wachstum, bei deren Wertetabelle die Division zweier nacheinander stehenden y-Werte immer eine gleiche Zahl (b>1) beträgt.

 

 Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Zur Veranschaulichung der Exponentialfunktionen wird hier den Graphen einer Exponentialfunktion Basis e dargestellt.

Beispiel:

Beim einsetzen von beliebigen Zahlen in die Funktion und anhand von der Zeichungsanwendung des Excel-Programms lasse ich den Graph der obigen Funktion skizzieren.

 

  Wachstum/Zerfall

Wachstum bezeichnet die Zunahme einer bestimmten Messgröße im Zeitverlauf. Das Gegenteil von Wachstum ist die Schrumpfung, also die Abnahme einer Messgröße – teilweise auch als Zerfall bezeichnet.

 

Formelbildung

 

Die Bestandgröße solcher Funktionen lassen sich durch die unten aufgeführte Funktion modellieren.

 

f(t): Bestandgröße nach einer bestimmten Zeit

a: Anfangswert

b: Wachstums/Zerfalls-Faktor=1+Wachstum/Zerfall-Rate

t: Zeit

Herleitung der Formel:

Laut der Voraussetzungsformel für ein exponentielles Wachstum

Beispiel:

Die Bevölkerung von Inheim ist in den letzten 7 Jahren jährlich um 2 % gestiegen und liegt jetzt bei 50 000. Wie viele Menschen lebten vor 7 Jahren in Inheim? Runde auf ganze Menschen

Die aktuelle Bevölkerung= 50 000

Wachstumsrate: um +2% bzw. auf 102% -> b=1+0,02=1,02

t=7

f (7) =50 000

a=? Anfangswert bzw. Anzahl von Menschen vor 7 Jahren

Menschenanzahl: aufgerundeter Wert von a = 43529 Menschen lebten dort vor 7 Jahren.

Umformen der Formel mit e

Die beschreibende Formel des exponentiellen Wachstums/Zerfalls kann auch mittels

e-Funktion beschrieben werden.

Die Exponentialfunktion mit e (Eulersche Zahl) als Basis nennt sich e-Funktion

Unten wurde die Funktion  in einem kleineren Intervall skizziert. 

Die Wachsums/Zerfall-Funktion wird mit Basis „e“ geschrieben, wenn anstatt ,

 eingesetzt wird. K wird als Wachstumskonstante bezeichnet.

1.1.1 Beschränktes Wachstum (Abkling- bzw. Sätigungsfunktionen)

 

in der naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen treten Exponentialfunktion meist in der zeitabhängigen Form auf z.b. bei Abkling- bzw. Sättigungs-Funktionen:

 

Abklingfunktion: