Ebenen und Lagebeziehungen

  • Eine Ebene beinhaltet 2 Geraden, die einen gemeinsamen Normalvektor haben.
  • Stell euch mal ein Papierblatt vor, wobei ganz eben und in 2 Achsen dieser Blatt zu integrieren ist. Also der Blatt besitzt ja eine Länge (x) und eine Breite (y). Die z-Richtung ist im Prinzip der senkrechte Vektor (Normalvektor), der überall die Ebene senkrecht schneidet.
  • Deshalb lässt sich eine Ebene entweder durch einen Normalvektor wie folgt:
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  • Oder durch 2 Richtungen (Geraden) auf dem Blatt (Ebene) darstellen.

OA ist die Vektor-Darstellung des Punktes A wie in der Abbildung

z.B:

3

Punkte haben keine Dimensionen, jedoch werden denen koordinaten zugewiesen. Geraden beinhalten unendliche Punkte in einer geraden Richtung, die anhand von 2 darauf liegenden Punkten beschrieben werden. Deshalb haben Geraden eine Dimension. Ebenen bestehen aus unendlich vielen Geraden, die nebeneinander in eine andere Richtung als Richtung der Geraden gelegt werden. Deswegen lässt sich eine Ebene anhand von 2 Geraden bzw. Vektoren oder 3 Punkten definiert werden. Ebenen haben 2 Dimensionen. 

Eine Ebene kann verschiedene Lagen zu Punkten, Geraden oder anderen Ebenen aufweisen.  Nachfolgend besprechen wir die Lagebeziehungen der Ebene zu Punkten:
Lage Punkt – Ebene:
Ein Punkt kann entweder auf der Ebene liegen oder halt nicht
Wie prüft man dieses?
Wenn die Punktkoordinaten in der Ebenengleichung stimmen, liegt der darauf und wenn nicht dann nicht. Was bedeutet darin stimmen? Das heißt, dass man die Punktkoordinaten mit x, y, z von der Ebenengleichung ersetzt. Dabei muss die Gleichung wie das Beispiel unten stimmen. Dabei muss die Gleichung wie das Beispiel unten stimmen. 

Lage einer Ebene und einer Geraden:

Eine Gerade und eine Ebene können entweder parallel oder schneidend sein. Eine zu einer Ebene parallel verlaufende Gerade kann auch auf der Ebene liegen, sodass sie ein Teil der Ebene ist, wobei der Abstand zwischen denen gleich null ist.

Wie prüft man die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Wenn der Normalvektor der Ebene zu dem Richtungsvektor der Geraden senkrecht steht, sind die Beiden parallel. Ein Beispiel zum Thema:

Normal- und Richtungsvektoren:

Wenn die Gerade und Ebene nicht parallel sind, schneiden sie sich dann an einem Punkt.

Wie kann der Schnittpunkt berechnet werden?

Dies kann am einfachsten berechnet werden, wenn die Ebenengleichung in der Koordinatenform vorliegt. Die x, y, und z Funktionen der Geradengleichung in die Ebenengleichung wie folgendes Beispiel einsetzten. Nach der Berechnung des Parameters der Geradengleichung können die Schnittpunktskoordinaten ausgerechnet werden. 

  • Geradengleichung:
  • Ebenengleichung:
Die Ebenengleichung wurde unten aufgeführt ( x+3y=12) 
Aus der obigen Geradengleichung her nehmen wir jeweils die x, y und z Reihen. 
Diese wurde unten aufgeschrieben.

Im Nachhinein werden die von r abhängigen x, y und z Gleichungen in die Ebenengleichung eingesetzt, um r auszurechnen. Nach dem Errechnen von r können x,y und z Koordinaten des Schnittpunktes ermittelt werden, indem die mit dem errechneten r-Wert wie folgt berechnet werden.

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